โ๋ฌดํโ์ ํ๋์ ๋ฉ์ด๋ฆฌ๊ฐ ์๋๋ผ ์๋ก ๋ค๋ฅธ ํฌ๊ธฐ์ ์ธ๊ณ๋ค๋ก ๊ตฌ์ฑ๋ ์ ์์ผ๋ฉฐ, ๊ทธ ์ฌ์ค์ด ์ญ์คยท๋ถ์์ ์ฑยท๊ณ์ฐ๋ถ๊ฐ๋ฅ์ฑ๊ณผ ๋ง๋ ์ํ์ ํ๊ณ์ ํ์ฅ ๊ฐ๋ฅ์ฑ์ ๋์์ ๋๋ฌ๋ธ๋ค.
ํดํจ์ค๋ โ๋ฌดํ์ ํฌ๊ธฐโ๋ฅผ ๋น๊ตํ๋ ํต์ฌ ๊ท์น์ผ๋ก 1:1 ๋์(์ผ๋์ผ ๋์)์ ๊ฐ์กฐํ๋ค. ์ด ๊ท์น์ ๋ฐ์๋ค์ด๋ฉด, ์์ ์ ๊ณฑ์ ์งํฉ์ด ์์ฐ์ ์ ์ฒด์ ๊ฐ์ ํฌ๊ธฐ์ฒ๋ผ ๋ณด์ด๋ ๊ฐ๋ฆด๋ ์ด์ ๊ด์ฐฐ์ด ์์ฐ์ค๋ฌ์์ง๋ค.
ํ๋ฒ ๋ฅดํธ ํธํ (๋ฌดํํ ๋ฐฉ์ด ์๋ ํธํ ์ด โ๋ง์คโ์ธ๋ฐ๋ ์๋์ ๋ ๋ฐ์ ์ ์๋ ์ด์ผ๊ธฐ)์ โ๋ถ๋ถ์ด ํญ์ ์ ์ฒด๋ณด๋ค ์๋คโ๋ ์ ํด๋ฆฌ๋์ ์ง๊ด์ด ๋ฌดํ์์๋ ๊นจ์ง ์ ์์์ ๋ณด์ฌ์ค๋ค.
๋ฌดํ์ ๋ค๋ฃฐ ๋๋ โ๊ฐ์โ๋ฅผ ์ธ๋ ๋์ , ๋์์ ๋ง๋๋ ๋ฅ๋ ฅ์ด ํฌ๊ธฐ ๋น๊ต์ ์ธ์ด๊ฐ ๋๋ค.
์นธํ ์ด์ ํต์ฌ ์ฑ๊ณผ๋ โ๋ชจ๋ ๋ฌดํ์ด ๊ฐ์ ํฌ๊ธฐโ๊ฐ ์๋๋ผ๋ ์ ์ ์๋ฐํ ๋ณด์ฌ์ค ๊ฒ์ด๋ค. ํนํ ์ค์ ์งํฉ์ ์์ฐ์์ฒ๋ผ ๋์ด(์ด๊ฑฐ)ํ ์ ์๋ค๋ ๋๊ฐ์ ๋ ผ์ฆ์ผ๋ก โ๋น๊ฐ์ฐ(uncountable)โ ๋ฌดํ์ด ๋ฑ์ฅํ๋ค.
์ด ์ง์ ์์ ํ๋ ์ํ์ โ๊ธฐ๋ฐโ(๊ณต๋ฆฌ, ์งํฉ๋ก )์ ๋ค์ ์๊ฐํ๊ฒ ๋๊ณ , ์ดํ์ ์ญ์ค๊ณผ ๋ถ์์ ์ฑ ๋ ผ์๋ก ์ด์ด์ง๋ค.
โ์๊ธฐ ์์ ์ ํฌํจํ์ง ์๋ ๋ชจ๋ ์งํฉ์ ์งํฉโ ๊ฐ์ ๊ตฌ์ฑ์ ๋ชจ์์ ๋ณ๋๋ค(๋ฌ์ ์ ์ญ์ค). ์ด๋ โ์งํฉ์ ๋ง์๋๋ก ๋ง๋ค ์ ์๋คโ๋ ์์งํ ๊ด์ ์ ๋ฌด๋๋จ๋ฆฐ๋ค.
๊ทธ ๊ฒฐ๊ณผ๋ก ZFC ๊ฐ์ ๊ณต๋ฆฌ์ ์งํฉ๋ก , ํ์ ์ด๋ก ๋ฑ โํ์ฉ๋๋ ๊ตฌ์ฑ ๊ท์นโ์ ์ ํํ๋ ๋ฐฉ๋ฒ์ด ๋ฐ์ ํ๋ค. ์ํ์ ์์ ๋ฅผ ์๋ ๋์ ์ผ๊ด์ฑ์ ์ป๋๋ค.
๊ดด๋ธ์ ์ฐ์ ์ ํฌํจํ ๋งํผ ๊ฐํ ๊ณต๋ฆฌ๊ณ๋ผ๋ฉด, ๊ทธ ์์์ ์ฐธ์ด์ง๋ง ์ฆ๋ช ํ ์ ์๋ ๋ฌธ์ฅ์ด ์กด์ฌํจ์ ๋ณด์๋ค. ๋ ๋์๊ฐ, ์ฒด๊ณ๊ฐ ์ผ๊ด์ ์ด๋ผ๋ฉด ๊ทธ ์ผ๊ด์ฑ์ ์ฒด๊ณ ๋ด๋ถ์์ ์ฆ๋ช ํ ์ ์๋ค๋ ํํ๋ก๋ ๋ ผ์๋๋ค.
์ด ๋๋ชฉ์์ โ์ง๋ฆฌ(truth)โ์ โ์ฆ๋ช (proof)โ์ด ๋ถ๋ฆฌ๋๋ค. ์ด๋ค ๋ช ์ ๋ ์ฐธ/๊ฑฐ์ง์ด ์ ํด์ ธ ์์ด๋, ํน์ ๊ณต๋ฆฌ๊ณ ์์์๋ ํ์ ํ ์ ์์ ์ ์๋ค.
์ฐ๊ตฌ๋ โ์ฆ๋ช ๊ฒ์โ๋ง์ด ์๋๋ผ, ์ด๋ค ๊ณต๋ฆฌ๋ฅผ ์ฑํํ ์ง๋ฅผ ํฌํจํ๋ โ์ธ๊ณ ์ ํโ์ ๋ฌธ์ ๋ก ํ์ฅ๋๋ค.
์ ์ง ๋ฌธ์ ๋ ์ด๋ค ํ๋ก๊ทธ๋จ์ด ๋ฉ์ถ์ง/๋ฌดํ๋ฃจํ์ ๋น ์ง์ง ์ผ๋ฐ์ ์ผ๋ก ํ์ ํ๋ ์๊ณ ๋ฆฌ์ฆ์ด ์กด์ฌํ์ง ์์์ ๋ณด์ฌ์ค๋ค. ์ด๋ โ๊ณ์ฐ์ ํ๊ณโ๊ฐ ๋จ์ํ ๊ธฐ์ ๋ถ์กฑ์ด ์๋๋ผ ๊ตฌ์กฐ์ ์ด๋ผ๋ ์๋ฏธ๋ค.
๋๋ด์ ์ฌ๊ธฐ์ ๊ณ์ฐ๊ฐ๋ฅ์ฑ ์ด๋ก ๊ณผ P vs NP ๊ฐ์ ๋์ , ๊ทธ๋ฆฌ๊ณ โ๋ฌธ์ ์ ๋์ด๋โ๊ฐ ์ค์ ์ธ๊ณ(์ํธ, ์ต์ ํ)์ ์ฐ๊ฒฐ๋๋ ๋ฐฉ์์ผ๋ก ์ด์ด์ง๋ค.
์ฐ์์ฒด ๊ฐ์ค(CH)์ ZFC๋ก๋ ์ฆ๋ช ๋ ๋ฐ์ฆ๋ ๋์ง ์๋(๋ ๋ฆฝ์ ์ธ) ๋ช ์ ๋ก ์๋ ค์ ธ ์๋ค. ํดํจ์ค๋ ์ด๋ฅผ โ๋ฏธ์์ฑโ์ด๋ผ๊ธฐ๋ณด๋ค, ์ฌ๋ฌ ์งํฉ๋ก ์ ์ฐ์ฃผ๊ฐ ๊ณต์กดํ ์ ์๋ค๋ ๋ฉํฐ๋ฒ์ค ๊ด์ ์ผ๋ก ํด์ํ๋ค.
์ฆ, โ์ํ์ ์ฐ์ฃผโ๋ ํ๋๋ก ๊ณ ์ ๋ ๊ฒ์ด ์๋๋ผ, ์ด๋ค ๊ณต๋ฆฌ/ํ์ฅ(large cardinals ๋ฑ)์ ์ ํํ๋๋์ ๋ฐ๋ผ ์๋ก ๋ค๋ฅธ ํ๊ฒฝ์ ๊ฐ๋๋ค๊ณ ๋ณธ๋ค.
CH ๊ฐ์ ๋ช ์ ๋ โ๋ต์ด ์๋คโ๊ฐ ์๋๋ผ โ๋ต์ด ๊ฐ๋ผ์ง๋ ์ง์ โ์ผ ์ ์๋ค.
ํ๋ฐ๋ถ๋ ์ดํ์ค์(surreal numbers), ์ฝ์จ์ด์ ์๋ช ๊ฒ์, ๋ฌดํ ์ฒด์ค ๊ฐ์ โ์์ด๋์ด์ ๋ฐ๋ช โ์ผ๋ก ์ฑ์์ง๋ค. ๋จ์ํ ๊ท์น์์ ์์ธก๋ถ๊ฐ๋ฅํ ๋ณต์ก์ฑ์ด ๋ฐ์ํ๋ ์์๋, ์ํ์ด ํ์ค๊ณผ ๋ฎ์ ๋ฐฉ์์ผ๋ก ํ๋ถํด์ง์ ๋ณด์ฌ์ค๋ค.
ํดํจ์ค๋ ์ํ์ โ๋ต์ ๋งํ๋ ๊ธฐ์ โ์ด๋ผ๊ธฐ๋ณด๋ค, ์ข์ ๊ฐ๋ ๊ณผ ์ข์ ์ ์๋ฅผ ์ฐพ์ ์ธ๊ณ๋ฅผ ํ์ฅํ๋ ์ฐฝ์กฐ ํ์๋ก ๋ฌ์ฌํ๋ค.